Énoncé

Dans cet exercice, nous allons établir une méthode de détermination graphique du minimum du coût moyen de production.

Considérons une entreprise de fabrication de tissu. Pour une production de \(x\) kilos de tissu, on a modélisé les coûts de production par les fonctions définies par : 

• \(C_T\left(x\right) = x^3 - 12x^2 + 48x\) : coût total de production pour \(x\) dans \([0~;8]\) ;
• \(C_m(x)=3x^2-24x+48\) : coût marginal pour \(x\) dans \([0~;8]\) ;
• \(C_M(x)=x^2-12x+48\) : coût moyen pour \(x\) dans \(]0~;8]\).
  

Dans tout ce qui suit, \(\text M\) est un point de la courbe représentative de la fonction \(C_T\) d'abscisse le réel \(a\) appartenant à \([0~;8]\), on appelle \(\text O\) le point de coordonnées \((0~;0)\).